Về bản chất, một hàm là một quy tắc tương ứng mà gán mỗi phần tử từ tập hợp đầu vào (tập miền xác định) vào đúng một phần tử trong tập hợp đầu ra (tập miền giá trị). Mối quan hệ quy định này đóng vai trò là khối xây dựng cơ bản của mô hình toán học, cho phép chúng ta mô tả cách hành vi của một biến được xác định chặt chẽ bởi biến khác.
Hãy xem xét một Mô hình nồng độ muối: nếu chúng ta bơm nước mặn vào một bể chứa nước tinh khiết, nồng độ $C(t)$ là một hàm của thời gian $t$. Tại bất kỳ thời điểm cụ thể nào mà ta chọn, chỉ có duy nhất một mức nồng độ khả thi. Quy tắc "một đầu vào, một đầu ra" này chính là cốt lõi của giải tích.
Định nghĩa của một hàm số
Một hàm số $f$ là một quy tắc gán cho mỗi phần tử $x$ trong tập $D$ đúng một phần tử, gọi là $f(x)$, trong tập $E$. Chúng ta biểu diễn điều này bằng các công thức đại số như:
- $y = mx + b$ (Tuyến tính)
- $f(x) = \sqrt{x}$ (Căn bậc hai)
- $\{(x, f(x)) \mid x \in D\}$ (Định nghĩa tập hợp)
Một hàm số không chỉ đơn thuần là một công thức; nó có thể được xác định bằng bảng giá trị (một hàm bảng) hoặc thậm chí chỉ là một tập hợp các cặp có thứ tự.
Kiểm tra đường thẳng đứng (VLT): Một đường cong trong mặt phẳng $xy$ biểu diễn một hàm số của $x$ nếu và chỉ nếu không có đường thẳng đứng nào cắt đường cong hơn một lần. Điều này đảm bảo yêu cầu "một đầu ra" được thỏa mãn.
Đánh giá thực tế: Tỷ số sai biệt
Để đo lường sự thay đổi trong các mối quan hệ này, chúng ta thường đánh giá biểu thức $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.
Cho $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$. Để đánh giá tỷ số sai biệt:
- Thay thế $(a+h)$ vào $f$: $f(a+h) = 2(a+h)^2 - 5(a+h) + 1$
- Khai triển: $2(a^2 + 2ah + h^2) - 5a - 5h + 1 = 2a^2 + 4ah + 2h^2 - 5a - 5h + 1$
- Trừ $f(a)$: $(2a^2 + 4ah + 2h^2 - 5a - 5h + 1) - (2a^2 - 5a + 1) = 4ah + 2h^2 - 5h$
- Chia cho $h$: $\frac{4ah + 2h^2 - 5h}{h} = 4a + 2h - 5$.